中招資訊 中招試卷 中招備考 中招政策 中招輔導 中招問答 招生簡章

2018中考數學:特殊四邊形的識別

/ 2019-08-18   次瀏覽

 一、平行四邊形

  例1如圖1,有一矩形紙片ABCD,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上。設F、H分別是B、D落在AC上的點,E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點。求證:四邊形AECG是平行四邊形。

  

  分析:要證明四邊形AECG是平行四邊形,題中已有條件CG∥AE,因此可考慮證明CG=AE,利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”;也可以考慮證明AG∥CE,利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”。下面用第二種思路證明。

  證明:在矩形ABCD中,因為AD∥BC,所以∠DAC=∠BCA。由題意,得∠GAH=∠DAC,∠ECF=∠BCA,所以∠GAH=∠ECF,所以AG∥CE。又因為CG∥AE,所以四邊形AECG是平行四邊形。

  點評:平行四邊形常見的判定方法還有:①兩組對邊分別相等的四邊形;②對角線互相平分的四邊形;③兩組對角分別相等的四邊形。運用時,要靈活選擇。如果一種方法不易解出,可以嘗試其他的方法。

  二、矩形

  例2如圖2,在△ABC中,AB=AC。AD⊥BC,垂足為點D。AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點E。求證:四邊形ADCE為矩形。

 

  分析:要證明四邊形ADCR為矩形,題設中已有兩個角是直角的條件,可考慮利用“有三個角是直角的四邊形是矩形”來證明,故只要證明∠DAE是直角即可。

  證明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠DAC。因為AN是△ABC外角∠CAM的平分線,所以∠MAE=∠CAE。故∠DAE=∠DAC+∠CAE=。又因為AD⊥BC,CE⊥AN,所以四邊形ADCE為矩形。

  點評:矩形常見的判定方法有:①三個角是直角的四邊形;②有一個角是直角的平行四邊形;③兩條對角線相等的平行四邊形。

  三、菱形

  例3如圖3,在梯形紙片ABCD中,AD∥BC,AD>CD。將紙片沿過點D的直線折疊,使點C落在AD上的點C1處,折痕DE交BC于點E。求證:四邊形CDC1E是菱形。

  分析:由于是折疊問題,因此有很多邊相等、角相等,可以考慮利用“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明。

  證明:由題意可知△CDE≌△C1DE,則有CD=C1D,∠C1DE=∠CDE,CE=C1E。因為AD∥BC,所以∠C1DE=∠CED。故∠CDE=∠CED,于是CD=CE。所以CD=C1D=C1E=CE,四邊形CDC1E是菱形。

  點評:菱形常見的判定方法有:①四條邊都相等的四邊形;②有一組鄰邊相等的平行四邊形;③對角線互相垂直的平行四邊形。在折疊問題中,如果有平行線的條件,一般都會有等腰三角形存在。這點應當重視。

  四、正方形

  例4如圖4所示,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,對角線AC與BD相交于點O。若不增加任何字母與輔助線,要使四邊形ABCD是正方形,則還需增加的一個條件是。

  分析:這是一道開放型題目。根據已知條件知四邊形ABCD是菱形,要使四邊形ABCD是正方形,按其判定方法只要增加條件∠BAD=90°,或∠ABD=45°,或AC=BD等。

  解:略。

  點評:正方形常見的判定方法有:①有一組鄰邊相等的矩形;②有一個角是直角的(或對角線相等的)菱形。

  五、等腰梯形

  例5如圖5,在等腰△ABC中,AB=AC。BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分別為點D、E,連接DE。求證:四邊形BCDE是等腰梯形。

  分析:要證明四邊形BCDE是等腰梯形,首先要證明它是梯形,再證明其兩腰相等即可。由圖形知BE與CD顯然不平行,因此要證明DE∥BC,可通過“同位角相等,兩直線平行”來解決。要證明這個梯形是等腰梯形,可通過說明兩腰相等的方法達到。

  證明:在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB。因為BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠BEC=∠CDB=90°。又BC=CB,所以△BEC≌△CDB(AAS)。于是BE=CD。從而AB-BE=AC-CD,即AE=AD。所以∠AED=∠ADE。所以∠ABC=∠AED=(180°-∠A)。所以DE∥BC。而BE與CD不平行,所以四邊形BCDE是梯形。又因為BE=CD,故四邊形BCDE是等腰梯形。


版權所有

99激情精品视频